Livres et revues : EDMOND LEMERY - CASTERMAN
POUR UNE MATHÉMATIQUE POPULAIRE
LIBRES RECHERCHES D'ADOLESCENTS AU COLLEGE

- Encore quelques expériences à caractère exceptionnel destiné à servir de vitrine à une école pédagogique ?
- Surprise, ces témoignages refusent d'emblée le spectaculaire; ils ne sont pas sélectionnés pour leur beauté, leur aspect exemplaire, au contraire, l'auteur s'attache à nous fournir l'ordinaire d'une pédagogie, y compris sous forme de productions “ banales ”.
- Sans doute ce Monsieur bénéficie-t-il d'un statut particulier, de conditions de travail améliorées qui l'éloignent des soucis quotidiens des fantassins de la pédagogie que nous sommes ?
- C'est un professeur de collège bien ordinaire dans un collège bien ordinaire.
- Soit ! Ces théories sont sans doute fort intéressantes, mais ne sont-elles pas qu'une soupape de sécurité dans un enseignement qui, dans le fond, reste comme les autres ?
- Cette pratique s'intègre dans une perspective d'ensemble qui s'appuie sur un autre rapport au savoir que celui qui prévaut habituellement dans l'enseignement.
Le choix de l'auteur est à l'opposé du pensum laborieux. Il nous offre dans une première partie un grand choix de recherches, vécues par ses collégiens. Instituteurs, aussi bien que professeurs du second cycle y trouveront matière à réflexion. Il faut souhaiter également que nombreux seront les lecteurs en dehors des cercles de profs de maths, et surtout parmi ceux qui gardent un mauvais souvenir des cours de maths de leur jeunesse ; car il passe dans ces activités d'adolescents le souffle de la curiosité vraie, du plaisir de chercher, de l'imagination et de l'ingéniosité de ces jeunes apprentis. On est loin ici des clichés que gardent les “ déçus des mathématiques” à propos de l'enseignement d'une discipline qui n'a guère la réputation d'avoir été le terrain d'une rénovation pédagogique mais qui participe au contraire, en bonne place, à la sélection et à l'échec scolaires.

Pour chaque compte rendu de recherche, un exposé court nous permet de saisir son point de départ, des indications sont fournies sur la variété des motivations (intérêt personnel, préoccupation de groupe, situation stimulante proposée par le professeur) de nombreux documents viennent à l'appui du texte, évitant des développements trop longs, et permettent de suivre sur un rythme soutenu le développement de la recherche, les essais, les impasses, les réussites, les rebondissements. C'est surtout un processus vivant que cherche à restituer cette première partie et il faut dire que le style alerte y réussit avec bonheur .
Dans la deuxième partie, l'auteur nous propose d'analyser des recherches. Toujours à partir de documents bruts, il procède par commentaires brefs, souvent ponctués de schémas qui aident la lecture. 
Divers aspects sont tour à tour mis en lumière; ici il éclaire la démarche tâtonnée du jeune mathématicien et montre comment chemine le processus de conceptualisation ; ailleurs il attire notre attention sur la dynamique et les phénomènes liés aux interactions entre le groupe et les individus, partout de brèves notes sur les contenus qui lasseront d'autant moins que les recherches ont été sélectionnées pour rendre compte de la diversité des motivations qui président aux contenus choisis par les jeunes ; on trouve en effet aussi bien des expériences dont le point de départ est choisi dans le réel environnant ( élaborer un tableau qui permettra d'inscrire les résultats d'une “ poule ” d'escrime, construction de la maquette d'un vélodrome, etc.) que d'autres qui trouvent leur source dans l'univers mathématique (agrandissement d'une figure au pantographe, nombres irrationnels, etc. ) ou enfin des “ recherches banales ” généralement brèves, débouchant rarement sur une conceptualisation, bref des recherches que rencontrent fréquemment les enseignants qui se sont essayés à cette pédagogie et qui se sont parfois découragés devant le caractère répétitif et de peu d'intérêt .apparent de ces productions, E. Lémery en fournit plusieurs exemples et montre comment il faut les accepter tout en créant un milieu qui permettra aux jeunes d'accéder à un autre niveau d'activités.

Enfin, dans une dernière partie, brève, l'auteur nous propose sa conception d'une “ conceptualisation plus naturelle ”. Restant toujours attentif au matériau brut des premières parties, il développe les grandes lignes d'une théorie de l'apprentissage qui se situe dans la perspective du tâtonnement expérimental.

VERS UNE CONCEPTUALISATION PLUS NATURELLE

La pratique de la libre recherche qu'Edmond Lémery propose à ses élèves, s'intègre en effet dans la perspective cohérente d'un autre mode d'accès au savoir et d'une théorie de la connaissance en rupture avec les conceptions traditionnelles qui prévalent, surtout peut-être dans les disciplines “ construites ” comme les mathématiques. C'est dire que cette pratique n'a rien à voir avec un supplément d'âme ou une soupape de sécurité au sein d'une pédagogie qui, pour l'essentiel, ne se séparerait pas des schémas habituellement pratiqués.

Pour l' auteur, la formation des concepts mathématiques n'obéit pas en effet au schéma simple qui postule un enchaînement linéaire de connaissances dans une progression logique préparée par le professeur et proposée simultanément à tous les élèves invités à assimiler ce programme au même rythme. Mathématique préfabriquée, présentée comme une construction toute faite à l'extérieur de l' élève et dont les concepts sont autant de produits finis qu'il revient à l'étudiant d'appliquer au cours d'exercices où intervient une dose plus au moins forte d'astuce chargée d'épicer un plat par ailleurs bien insipide; cette pédagogie traditionnelle peut être améliorée par une introduction en douceur des notions :

Schéma 1
Exemple		concept 	application 
					répétition 
		•

Dans une pédagogie plus active, on a recours à une démarche un peu plus riche :

Schéma 2
recherche guidée		concept 	application 
	ou préprogrammée				répétition 
		•

Dans ce dernier schéma, il s'agit d'une conceptualisation par convergence, ce type de pédagogie est d'ailleurs pratiquée dans ies classes d'E. Lémery ; toutefois, pour lui, la recherche libre a l'avantage d'induire un processus d'apprentissage très différent; à la suite de Célestin Freinet et des travaux de son mouvement (l'I.C.E.M.), il s'appuie sur les hypothèses du tâtonnement expérimental : (...) celles-ci nous aident à mieux comprendre les chemins de la conceptualisation mathématique (...)

Le terme “ tâtonnement expérimental ”. désigne deux réalités (schéma 1) :
- la démarche qui permet d'accéder à l'acte réussi (flèche verticale dans le schéma 3) : l'expérience tâtonnée T.E. ;
- l'ensemble du schéma en escalier .
A partir du premier acte réussi par tâtonnement expérimental (A), l'individu répète cet acte jusqu'à ce que la trace soit creusée d'une façon indélébile, qu'elle soit devenue mécanique et technique de vie (B) (...)
Lorsque la maîtrise mécanique de l'acte est acquise, un nouveau tâtonnement expérimental conduit à un second acte réussi (C), qui, à son tour va se répéter jusqu'à l'automatisme (D). puis laisser la place à d'autres tâtonnements.

Schéma 3 d'après Célestin Freinet
	Niveau	E 	Répétition
			TE		acte réussi
				C 	Répétition		
			TE		acte réussi	D
			A 	Répétition		
	tâtonnement 		acte réussi	B
	expérimental
	(T.E.)							Temps

Cette phase d'expérience tâtonnée (T. E. schéma 3) est une période “ oscillatoire ” si je puis dire. L'être ne vit pas seulement des stimuli-réponses, des essais-erreurs, des imitations-exemples, des réflexes-renforcements, des analogies, des associations- combinatoires. etc. . mais il intègre la critique des faits. des exemples, la critique des personnes qui provoquent un changement de direction dans sa recherche, qui réorientent ses cheminements. On peut tenter de représenter cette démarche oscillatoire à l'aide d'un schéma emprunté à Paul le Bohec et que j'ai maintes fois vérifié au cours de recherches libres à tous les niveaux ”. (p. 67, 68).

Schéma 4 d'après Paul Le Bohec

Légendes 
illisibles

Ce modèle théorique du tâtonnement expérimental est soumis par E. Lémery à l'épreuve des faits observés. Mais la conceptualisation s'appuie aussi sur la convergence des approches de la même notion rencontrée dans des situations différentes ; l'auteur analyse par exemple comment Céline et Caroline approchent la notion d'équation de droite à travers 3 recherches distinctes menées à des moments différents (variation des dimensions d'un rectangle à périmètre constant, relation dans un ensemble numérique, graphique de proportionnalité à la suite d'une étude sur des prix) . on peut schématiser cette démarche comme suit.

Schéma 5
		
	Recherche 1	(Loi 1)
			Concept (ou structure)
				•
	Recherche 2	(Loi 2)

		(Loi 3)
	Recherche 3	

Il faut constater qu'à la linéarité de la démarche traditionnelle (voir schéma 1 et 2) se substitue, sur la toile de fond du tâtonnement une démarche par approximations successives convergentes (voir schéma 6) où le jeune rencontre le même concept dans des situations très diverses mais à des paliers différents d'utilisation et de formalisation; c'est pourrait-on dire, une conceptualisation à saut et à gambades.
“ Le palier de la loi atteint {voir schéma 4) n'est souvent qu'une approximation d'un concept. à un premier niveau, ce qui correspond à un premier passage de la spirale dans le secteur de ce concept (voir plus loin schéma 6 de la conceptualisation spiralée). Plusieurs paliers de loi, ainsi atteints, peuvent. par associations, conduire à un palier de loi supérieur : le concept ou un élément d'une Structure (voir schéma 5) ”) {p. 152).

“ De plus, les situations vécues en recherche libre sont parfois complexes, en ce sens qu'elles peuvent introduire plusieurs concepts sous-jacents ; pour mieux révéler cette interaction entre les deux concepts en construction et les différents niveaux de ces constructions. on peut tenter une schématisation de ces approches à l'aide d'une spirale (schéma 6). l'individu ou le groupe restreint cheminent pendant leurs recherches, dans des secteurs différents: les concepts; et s'ils repassent à plusieurs reprises dans un mime secteur, c'est à des niveaux ou paliers différents - d'où la spirale 

Schéma 6
La spirale conceptuelle - concept non approché à ce passage

Concept a

h

Dans ce schéma :
- chaque secteur représente “ le champ d'un concept ” (exemple le concept b) ;
- la courbe en spirale illustre le cheminement de l'individu ou du groupe qui approche le concept à un certain niveau. ” (p. 153).

Certains verront là une approche conceptuelle en opposition avec le caractère construit des mathématiques ; pour eux, la construction est la préhension de structures statiques apportées de l'extérieur à un sujet plus ou moins passif et qui, dès lors, aura bien du mal à en saisir les connexions et coordinations; au contraire dans une vision plus dynamique, la construction des concepts est essentiellement un processus opératoire, c'est-à-dire qu'elle repose sur des constructions opérées par le sujet à partir de son action propre, par généralisation constructrice, emboîtement, réorganisation, saisie des relations internes à un ensemble de notions. Pour Jean Piaget, “ la connaissance constitue toujours un processus et ne saurait être figée en ses états toujours momentanés ”.
On peut d'ailleurs ajouter que les fondements des mathématiques donnent lieu à des approches théoriques bien différentes, y compris de la part des mathématiciens eux-mêmes, dans “ Psychologie et épistémologie” Jean Piaget le souligne : “ nous constatons que les spécialistes de cette question oscillent entre 2 sortes de solutions (ou les admettent toutes 2 simultanément). Pour les uns, comme Poincaré ou Enriques, l'analyse des notions fondamentales nous conduit à l'étude de leur construction psychologique et le pont est ainsi directement établi entre la psychologie et le substrat intuitif ou concret des mathématiques. Pour les autres, comme Russel, Hilbert et les diverses écoles de logistique, le problème relève de l'analyse logistique ou axiomatique : nous semblons ainsi tourner le dos aux préoccupations psychologiques pour asseoir les axiomes sur un jeu de relations purement abstraites ( ... ) ” .

Tant du côté de l'épistémologie génétique que de celui de l'épistémologie des mathématiques, la théorie de l'apprentissage qu'E. Lémery développe à partir du tâtonnement expérimental, trouve des échos auxquels les scientifiques de haut niveau et l'inspection générale n'ont été relativement contraints de céder du terrain qu'après la catastrophe des mathématiques modernes à l'école (ah modernité que d'alibis rétrogrades sont travestis sous les apparences !) .

EXPRESSION LIBRE ET RAPPORT AU SAVOIR

L'importance accordée par cette pédagogie à la libre expression de l'adolescent est dans le droit fil de Freinet qui a fait du texte libre une technique importante. Or, cette technique, depuis recommandée un temps dans certaines instructions officielles, s'est répandue dans bon nombre de classes, y compris sous l'influence de certains centres de formation voire de conseillers pédagogiques ou d'inspecteurs, sans être toujours, loin s'en faut, en harmonie avec l'esprit des recherches sur l'expression libre, toujours vivantes dans l'I.C.E.M. Il faut donc insister sur certains aspects de l'expression libre, tant celle-ci a donné lieu, et donne encore lieu à des incompréhensions profondes, y compris d'ailleurs dans certains milieux progressistes qui en font une critique parfois bien rapide ( 1) .

Ce qu'on voit d'abord dans l'expression libre, c'est évidemment de choix de privilégier la liberté et l'expression de l'adolescent, le souci de ne pas l'enfermer dans des schémas ou des techniques de travail qui brimeraient sa créativité, son besoin de communiquer; une pédagogie centrée sur l'enfant, qui lui permet de tâtonner et de travailler à partir de ses besoins et de ses intérêts propres. On reproche parfois à cette conception de privilégier une “ image idéaliste et idyllique de l'enfant, être naturellement spontané, innocent et créatif ” {2).

Or, on risque de passer à coté d'une compréhension juste de l'expression libre en s'en tenant à de telles considérations. C'est l'un des mérites de l'ouvrage d'E. Lémery de faire saisir les relations puissantes qui relient l'expression libre (ici la recherche mathématique) à une conception cohérente de la relation au savoir, c'est-à-dire d'une théorie de l'apprentissage et de la connaissance (3).

E. Lémery montre dans son livre comment, en partant de la démarche propre des adolescents, ceux-ci parviennent à construire des connaissances mathématiques valables en suivant des processus de conceptualisation plus naturels et plus féconds. Il faut souligner cependant à quel point la réussite d'une telle perspective suppose le contraire de l'improvisation et d'un “ angélisme ” pédagogique ; car, ainsi que le souligne l' auteur, des recherches libres pourraient vite s'enliser dans la banalité, la répétition fastidieuse et ne mener à aucune conceptualisation si le milieu que constitue la classe (où interviennent le groupe, les interactions individuelles, renseignant, les outils, l'organisation spatio-temporelle, etc.) n'était pas riche de suffisamment de stimulations pour permettre à l'adolescent une progression dynamique, en partant de ses propres démarches. La richesse du milieu suppose aussi une pédagogie différenciée, grâce notamment à la diversité des concepts simultanément abordés dans les recherches, mais aussi en proposant des activités différenciées (différentes de la libre recherche) aux jeunes ; E. Lémery explique que, puisque la libre recherche ne permet pas d'épuiser toutes les notions du programme, il apporte d'autres techniques de travail (voir notamment le schéma 2), “ il faut envisager, dit-il une alternance entre des activités diversifiées motivées et motivantes favorisant les cheminements personnels, respectant les rythmes, pendant 50 % de l'horaire scolaire et des activités collectives durant lesquelles les échanges, les communications, les informations, la part du professeur provoquent, incitent, induisent, enrichissent et favorisent les synthèses, la structuration pour chacun ”. (page 166).

“ La construction progressive des modèles qui constituent l'univers mathématique ). n'a donc rien d'un processus naturel et spontané, dans un sens simpliste qu'on pourrait donner à ces termes.

“ En effet, la libre recherche mathématique n'est pas l'abandon des jeunes aux seules stimulations de leur milieu, de leur environnement, à leur spontanéité uniquement; le professeur a aussi un rôle aidant à jouer en faisant émerger les idées. en mettant à leur disposition l'information au moment des besoins, en favorisant la construction des structures. Ainsi les connaissances apportées par l'humanité ne sont pas rejetées, mais elles s'intègrent comme des maillons mieux imbriqués à la chaîne en construction dans chaque personnalité ). (page 8). Il faut le répéter pour aller à l' encontre d'une autre idée fausse, tenace dans certains milieux, la pédagogie Freinet n'a rien d'une pédagogie non-directive ou une pédagogie au fil de l'eau - et l'enseignant n'y a pas un rôle de “ gentil animateur ”. (1) , elle n'est pas davantage une pédagogie qui s'abandonne angéliquement à la seule spontanéité de l'enfant ; il s'agit d'une pédagogie exigeante qui tente de respecter au maximum la curiosité et la vitalité des jeunes et dans laquelle créativité et connaissance, expression et apprentissage se fécondent mutuellement.

EXPRESSION LIBRE ET SOCIALISATION

Fournissant plusieurs exemples pris dans les situations vécues de la classe, l'auteur insiste à plusieurs reprises sur l'importance des phénomènes de groupe, aussi bien dans la socialisation de l'individu que dans le rapport au savoir .

Nous avons signalé comment, dans le tâtonnement expérimental, intervient la critique des personnes ou du groupe (voir schéma 4) , E. Lémery fournit de multiples exemples de ces interactions; il note égaIement l'importance de celles-ci dans l'allongement ou l'extension de la spirale conceptuelle: “ De plus, au fur et à mesure que se développent les expériences tâtonnées, les moments de brainstorming dans un groupe, le nombre des secteurs conceptuels se multiplie ”. (Voir schéma 7)

Schéma 7
Extension par paliers ou degrés

Extension par multiplication des secteurs conceptuels

Il faut noter que le climat coopératif dans la classe répond à plusieurs objectifs. S'il repose sur un choix éducatif, tant au niveau éthique qu'en ce qui concerne la socialisation, il ne faut pas manquer de voir son rôle dans les processus cognitifs. Jean Brun (Genève! a bien montré comment Jes interactions sociales interviennent dans les processus cognitifs, non pas seulement, comme on le suppose d'emblée, dans la motivation de l' activité, mais aussi comme une véritable modalité de celle-ci, “ en effet, les échanges, les exposés, les débats, les synthèses sont autant de moyens de communication entre les individus, qui créent les conditions naturelles d'un brainstorming,

Alors, par une combinatoire des idées émises, les démarches s'accélèrent, les pensées se développent. les hypothèses s'associent, les voies de recherche se multiplient; chacun s'enrichit des idées des autres qu'il fait siennes ”. (Page 159).

POUR UNE MATHÉMATIQUE POPULAIRE

Pour conclure, revenons à la case départ, c'est-à-dire au titre affiché en couverture - pour une mathématique populaire - parti pris dont on trouve des échos en introduction et en conclusion de l'ouvrage. “ L'objectif essentiel de ce témoignage est de révéler le potentiel assez étonnant qui existe en chaque individu, potentiel profitable à tous, si les adolescents peuvent bénéficier d'un climat scolaire favorable comme il peut être créé. lors de la mise en œuvre des techniques éducatives Freinet. ). (page 7) “ Une mathématique plus populaire parce que la mathématique construite et structurée souvent effrayante peut être démystifiée en la rendant plus sensible à chacun, en la faisant surgir de la rue, de l'environnement, là où la vie est, mais aussi de l'imagination créatrice de chacun : donc une mathématique plus vivante. 

Une mathématique plus populaire parce qu'elle n'est pas le domaine réservé à quelques-uns ; tous Ies adolescents peuvent approcher des notions (...) ” (page 9) “ Dans cet objectif (d'un changement au collège), 
l'enseignement mathématique, demeuré tout aussi élitiste, devenu sélectif ces dernières décennies, doit subir une mutation. Sans doute faut-il rendre la mathématique plus populaire, c'est-à-dire à la portée de tous, afin qu'elle devienne pour chacun un “ outil ”. de connaissance et d'action sur son environnement. une “ nouvelle grille ” d'analyse, un facteur d'épanouissement de la personnalité ”. (page 165).
Daniel-Lous Etxeto 
4O250 Mugron