Mathématiques 1er cycle
Un exemple de tâtonnement

“ LE BROUILLON D'EMMANUEL. ”

En classe de 5", nous travaillons sur les puissances, quand ils me disent avoir utilisé les puissances négatives de 10 en sciences. 
Ils se posent la question, " pourquoi 10-2 = 0,01 ? " question que pour des raisons d'organisation nous gardons en réserve. Un peu plus tard, nous établissons ensemble que 10n : 10 p = 10n-p quand n>p et Yves remarque: " Ah oui, et si n < p on a un exposant négatif. "  On prend quelques exemples, tout le monde semble “ voir ”.
Le lendemain, Emmanuel se met au travail : il cherche ce que signifie 10-4. Il écrit d'abord :
104 = 10 x 10 x 10 x 10 				A 
10-4= (-10) x(-10)x (-10) x (-10) 
	------------- 	--------------
  100	      100

et constate que ça ne va pas, puis
10-4= (-4) x (-4) x (-4) x (-4) 			B

et vient me montrer son papier

Je lui réponds: " mais non, tu vois bien que ça ne va pas, souviens-toi de ce qu'on a vu hier, 102 : 106 = 102-6  = 104 "
Il repart à sa place et écrit :
102 : 105 = 10-3					C
112 : 102 ca ne fait rien
10-2 = 102 : 104
quand l'exposant est plus petit que le 2e exposant et si le nombre est le même, le résultat sera la différence entre les exposants.

Il revient me montrer sa feuille. Je lui repose le problème. " A quoi est égal 10-4? "
Il repart sur son idée de (-10) :
10-4 						D 
(-10) x (-10) x (-10) x (-10) 
= (-10)4 = (10)-4
10-4= (-10) - (-10) - (-10) - (-10) 
= (-10) + (+10)  +  (+10) + (+10)
	---------------	----------------
	0	+	20

Il constate alors que ça ne mène à rien et reprend, alors seulement ce qu'on a vu la veille :
102 : 105						E
102= 10 x 10 = 100 
105=10x10x10x10x10= 100 000 
100 : 100000

Et il revient me voir en disant "Alors là, je suis sûr que c'est ça! " Il n'a même pas pris la peine d'écrire le résultat ! Il prépare aussitôt son exposé sur une feuille propre. 
Son travail a duré une heure.

Les réflexions que ça m'a inspirées :

I. Il n'abandonne son idée de (-10) que lorsqu'il a lui-même constaté qu'elle ne mène à rien. Mon intervention entre (A) et (B) est maladroite ou prématurée.
Il. A la fin, il est sûr d'avoir trouvé, vraiment convaincu, alors qu'il n'est guère allé plus loin que la constatation de la veille. (J'avais alors pensé que le plus gros travail vers 10-2= 0,01 était fait.)
Ill. Les puissances, pour lui, ce n'était vraiment pas acquis si on regarde ce qu'il écrit en (D) !
IV. Mais à la suite de cette recherche, j'ai pu le constater, c'est acquis: définition, opérations, . . . il a compris.
Marie-Hé/ène CHASTENET 
17220 LA JARRIE