LES CAHIERS 
DE TECHNIQUES OPERATOIRES

Le calcul opératoire encore trop souvent pratiqué n'est qu'un montage de mécanismes qui 
demandent un entraînement régulier... justifiant les nombreuses heures passées à la 
répétition de gammes d'exercices. C'est ainsi que la technique devient envahissante, 
qu'elle prend le dessus sur le raisonnement... 
Dans cette forme de travail, les enfants sont amenés à ne plus voir que des compositions 
de chiffres... au détriment de nombres.

324 devient un 3, un 2, un 4, les chiffres prennent tous même valeur. On se coupe de la 
signification du nombre (qui pourtant éclate dans sa lecture : trois cent vingt quatre)... (1)

D'autre part, la possibilité d'effectuer de la sorte des "grands calculs" contribue à 
donner aux enfants (comme aux parents) l'illusion d'un réel savoir ... alors même 
qu'ils opèrent sur des nombres qu'ils ne comprennent pas.

Comment peut-on accepter qu'après avoir essayé de mettre en place une éducation 
numérique appuyée sur le concept de nombre (équipotence et ordre) pour éviter les 
blocages si nombreux, on introduise si tôt le formalisme opératoire qui entre en 
contradiction immédiate avec celle-ci ? (1)
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(1) B. Monthubert, 
responsable de la commission "mathématique" qui a mis au point les cahiers autocorrectifs de techniques opératoires.
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Eviter le formalisme opératoire

Que l'on nous comprenne bien : ces propos n'ont pas pour but de culpabiliser les collègues mais simplement d'attirer l'attention sur une pratique des plus communes... tellement commune qu'elle ne soulève aucun débat.

Enfin, à tous ceux qui conscients de cette situation souhaitent aborder autrement avec leurs élèves les lois de compositions numériques, nous proposons une alternative : les cahiers de techniques opératoires.

Objectif des cahiers
 
" Notre objectif, à travers ces cahiers, n'est donc pas d'amener les enfants à mécaniser un algorithme que nous leur aurions au préalable imposé. Il est de faire sentir qu'il existe des relations entre les nombres, que les différentes compositions numériques obéissent à certaines lois indépendantes des formes de représentation (...)

C'est pourquoi nous proposons aux enfants de toujours calculer sur les nombres, remplaçant les mécaniques par le raisonnement.
Nous offrons des formes diverses de raisonnement afin que chacun choisisse celles qui conviennent le mieux à une situation donnée et à sa propre vision mathématique. 
Ceci n'interdira pas d'aboutir, en classe, à des algorithmes (parfois traditionnels même) en fonction soit des apports extérieurs soit des découvertes des enfants. Mais ceux-ci seront alors construits sur des bases réellement solides et n'apparaîtront plus comme les buts essentiels. Les enfants d'ailleurs, ne les utiliseront que dans les cas où ils y trouveront une réelle économie (de temps ou de  concentration)..." 

" On remarquera que l'entraînement opératoire n'est proposé que lorsque le concept mathématique sous-jacent en est à un stade d'acquisition suffisant. C'est ainsi que (exemple caractéristique) les exercices de composition multiplicative ne seront abordés qu'au niveau C, c'est-à-dire lorsque les lois de l'application linéaire sont en cours d'édification avancée. Cette édification se réalisant grâce aux nombreuses occasions de recherche sur ce thème abordées depuis le CE1 et même parfois le CP..."

Des circuits cérébraux qui resteront opératoires

" Les schématisations correspondent aux structures du raisonnement et non à un acte mécanique indépendant.

Le but des exercices n'est pas le contrôle des connaissances mais la mise en place de "circuits cérébraux" qui permettront à chacun de choisir dans toute situation nouvelle les démarches les plus efficientes...

Si de nombreux enfants ont des difficultés au niveau des opérations, c'est en particulier (il y a d'autres causes) parce qu'ils font des exercices sans lien réel avec les nombres eux-mêmes.
Le calcul s'exerce sur une juxtaposition de chiffres..."

Les auteurs des cahiers de techniques opératoires proposent au contraire de s'attacher à la valeur des nombres.

" Alors que la nature de l'opération est déterminée par la situation elle-même, ne nous laissant aucun pouvoir, la manière d'effectuer le calcul est toujours libre...

Savoir calculer c'est aussi savoir choisir, savoir adapter son calcul.  
Savoir calculer c'est encore savoir jouer sur les nombres pour démonter les compositions trop complexes en éléments plus simples. 

Avec ces cahiers, l'enfant acquerra le sens de l'approximation, de l'évaluation, de la simplification des calculs par les compositions privilégiées...

Ce travail a le triple avantage de :

- renforcer le concept mathématique sous-jacent à la composition numérique proposée ;

- créer ou développer une attitude active, un sentiment de capacité qui place l'enfant dans une situation favorable face à tout problème nouveau ;

- ne pas interdire la mise en place ultérieure d'un algorithme approprié, si le besoin s'en fait sentir réellement, dans de nouvelles conditions scolaires ou professionnelles. 
Cette mise en place sera même favorisée...

En effet, si l'on construit un mécanisme opératoire seulement lorsque les lois de l'opération mathématique correspondante sont parfaitement intégrées, cela ne demande que peu de temps et n'occasionne pas de blocage."
                (D'après la présentation    des cahiers, B. Monthubert.)         

Les cahiers de techniques opératoires favorisent l'éclosion de représentations mentales, induisent des tâtonnements plus ou moins féconds selon les enfants. Ces tâtonnements mentaux demeurent pour moi assez mystérieux mais je constate que les enfants progressent grâce à l'outil...
Les enfants finissent par réutiliser certaines de ces représentations pour résoudre des fiches de problèmes.                 
          A. Camille, CM2 (33)
 
Je fais également référence aux schémas mathématiques très variés des cahiers de T.O. lors des séances de calcul rapide afin de renforcer les représentations mentales pour une meilleure abstraction.
    M. Quendez, CE1-CE2 (02)

Présentation des cahiers

Chaque cahier est structuré en 8 séries de 4 pages.

Dans chaque série : 
- les 3 premières pages proposent les exercices, 
- la quatrième page présente la correction des 3 pages précédentes et un test.

Chaque série commence par un exemple.
A partir de l'observation des exemples et des schémas, l'élève peut aborder, seul, les exercices.

L'autocorrection offre à l'enfant la véritable responsabilité de son travail.

Grâce au test :

- l'enfant s'assure de sa progression,
- l'adulte est informé rapidement de l'évolution de ses élèves.

Pour l'enseignant, un simple regard sur le test permet de le renseigner sur le degré de compréhension et de difficulté. En cas d'échec, la relation avec l'enfant est très riche, très concrète : as-tu compris l'exemple ? Te rappelle-t-il une activité de classe ? etc.
Il m'arrive aussi d'élargir, de ramener à une manipulation : boulier, abaque, logiciel...
  M. Quendez, CE1-CE2 (02)    

Utilisation des cahiers

Le choix des techniques opératoires présentées dans ces cahiers résulte de l'observation des modes de raisonnement développés par les enfants, dans le cadre de la mathématique vivante, où les cheminements personnels sont mis en évidence, respectés et valorisés.

La sélection opérée ne signifie pas le rejet de toute autre démarche. Elle se veut seulement éclairage minimum et varié sur le champ du calcul numérique.

Ces cahiers ne doivent donc pas être considérés comme constituant un cours de calcul, ni en tant que programme, ni en tant que progression, ni en tant que guide de l'enseignant.

Cet outil trouve sa meilleure place à côté des autres productions de l'Institut Coopératif de l'Ecole Moderne et en coexistence avec la démarche pédagogique de la mathématique vivante (expression libre, puis recherche et exploitation individuelle et collective à partir de cette expression), mais il est indéniable que son introduction est possible et bénéfique dans toute classe, si l'enseignant a le désir de permettre à ses élèves la prise de possession réelle du calcul numérique.

Organisation pédagogique

Tout le monde peut travailler sur ces cahiers : enfants en difficultés, enfants non francophones... et ça m'a bien aidé dans ma classe très hétérogène.
   G. Doucet, CE1 à CM2 (82)

Ces cahiers sont à utiliser de préférence en travail individualisé (moments libres ou programmés). Ils permettent la progression de l'enfant à son rythme personnel.

C'est pourquoi nous conseillons de choisir ces cahiers individuels en fonction du niveau réel de chaque enfant. 
Il n'est donc pas nécessaire que les enfants aient tous les mêmes cahiers, ceux-ci ayant les mêmes objectifs pédagogiques les différences de niveaux opératoires n'entravent pas la collectivisation des recherches.

Le rythme de progression est variable. A ce jour je constate que des enfants travaillent sur le 4 ème cahier D et d'autres sur le 2 ème cahier C. C'est un reflet assez exact de la diversité des enfants... Je veille cependant sur les progressions d'enfants peu confiants ou lents. Je relance pendant une quinzaine de jours pour créer une dynamique....
            A. Camille, CM2 (33)
 
Il est préférable de démarrer à un niveau où l'enfant se sentira à l'aise (ce qui lui donnera assurance, désir de poursuivre et pouvoir sur la démarche) plutôt qu'à un niveau trop difficile qui pourrait le décourager ou l'inciter à agir sans véritablement comprendre.

Introduction des cahiers

R. Lavis, qui a une longue pratique des cahiers de techniques opératoires avec ses élèves de CE1-CE2, insiste particulièrement sur le soin à apporter à leur présentation. 

Les cahiers s'ouvrent sur une page d'informations s'adressant à l'élève.
Ne pas se contenter de la lecture (même orale et collective) de cette page.
Laisser les enfants explorer les cahiers tout seuls pendant quelques minutes.
Les remarques individuelles doivent être synthétisées pour marquer nettement la répartition du cahier en séries de 4 pages (avec leur numérotation spécifique) avec l'originalité de la quatrième page et la correspondance entre les cases a, b, c de correction et les 3 premières pages.  
La partie inférieure de cette page d'informations ("Parfois, dans les réponses, certains nombres sont sur fond grisé...") doit être expliquée ultérieurement, lorsque le premier enfant  sera confronté au problème.

En effet, parfois une réponse peut être obtenue par des chemins différents. Certains nombres sont alors grisés dans la correction. Il est alors important de comparer les raisonnements suivis.

Bien faire distinguer le modèle qui amorce chaque série (par son observation, l'enfant devra comprendre, seul, la nature de l'exercice). 

Un autre témoignage, celui de G. Doucet, confirme l'importance de bien faire comprendre les consignes de travail lors de la mise en route : ... en début d'année, je fais des séances collectives avec les CE1. Je leur apprends à se repérer dans les cahiers : les questions, les réponses, les tests. J'insiste sur l'observation de l'exemple de début de série et  sur l'aspect autonomie, sur l'autocorrection...

Chez A. Camille (CM2), la mise en place est plus aisée. Les enfants sont plus grands et les cahiers sont déjà utilisés dans les classes précédentes de l'école.
Je m'informe auprès des enfants du niveau atteint. Nous prenons la suite mais pendant quelques semaines je vais rester attentif pour vérifier que l'enfant ne peine pas. Le travail sur T.O. se déroule soit dans le cadre du projet de travail personnel (usage du plan de travail) soit lors d'une courte séquence lorsqu'il constate que plusieurs enfants buttent sur le même passage d'un cahier...

L'utilisation

Les élèves écrivent directement sur les cahiers, n'effaçant pas leurs tâtonnements. L'étude de ceux-ci, ainsi que des erreurs, apportent des éléments décisifs dans la connaissance de leurs difficultés.
L'enseignant pourra ainsi analyser les représentations numériques ou opératoires qu'a chaque enfants. 
Son action aura alors une plus grande efficacité.

La correction peut se faire suivant des procédures plus ou moins différentes en fonction des âges, des niveaux des 
enfants, de leur degré d'autonomie, des choix de l'enseignant.

Dans ma classe, quand deux exercices sont faux, l'enfant m'appelle. Je ne souhaite pas le laisser dans l'erreur longtemps. Mon rôle consiste à l'aider à comprendre son erreur... Le test permet de savoir s'il a compris. S'il est faux, l'enfant reprend la série. 
 J-Luc Serres, CM1-CM2 (24)

Je demande aux enfants de se corriger à la fin de chaque page.... La correction se fait à côté, d'une autre couleur, sans repasser sur ce qui avait été écrit 
initialement...

La première fois, chacun doit m'apporter son cahier dès que la première page a été corrigée. Ensuite il faut limiter à une ou deux séries le nombre d'exercices faits sans observation des corrections par l'adulte.

J'insiste sur la nécessaire observation des erreurs commises pour faire correctement la deuxième page (retour au modèle, appel à l'adulte si incompréhension plutôt qu'au voisin).
       R. Lavis, CE1-CE2 (07)

Comme on le voit, l'autocorrection ne dispense pas l'adulte de tout suivi. 
R. Lavis insiste encore sur la nécessité pour celui-ci de s'assurer que l'enfant a bien compris une méthodologie où l'autocorrection a autant d'importance que la réalisation des exercices proposés.

Enfin, il est important d'inviter les élèves à inventer d'autres exercices par eux-mêmes à la fin de chaque série. Cela les aidera à prendre réellement possession des lois de ces compositions numériques.        

Contenu des cahiers  

Niveau A 
4 cahiers gradués de A1 à A4

- Reconnaissance des nombres jusqu'à 100.
- Ajouter et soustraire deux nombres.
- Les quatre égalités équivalentes (lois d'addition et soustraction).
- Utilisations des similitudes et équivalences de calcul.
- Opérateurs additifs et soustractifs.
- Composition d'opérateurs.
- Evaluation, approximation, encadrement.
- Lecture des nombres.
- Suites numériques.

Niveau B 
1 cahier "B Spécial" : révisions de la série A, 
et 4 cahiers gradués de B1 à B4

- Mêmes objectifs que niveau A avec nombres supérieurs à 100.
- Additions de plusieurs nombres.
- Tableaux de correspondances d'opérateurs (associativité, commutativité).
- Francs et centimes.

Niveau C 
1 cahier "C Spécial" : révisions de la série B 
et 5 cahiers gradués de C1 à C5

- Même travail qu'en B avec situations plus complexes.
- Multiplication et division par des nombres inférieurs à 100.
- Table de Pythagore.
- Jeux numériques divers.
- Algorithmes divers.

Niveau D 
4 cahiers gradués de D1 à D4

- Même travail que dans les précédents niveaux mais appliqués aux nombres décimaux.

Remarque : les cahiers "B Spécial" et "C Spécial" permettent de faire le point  sur les acquisitions de l'étape précédente et peuvent assurer une mise à niveau éventuelle.  

Dossier préparé par J-C. Saporito, à partir de documents et témoignages de B. Monthubert, A. Camille, G. Doucet, R. Lavis, M. Quendez, J-L. Serres, M-C. Serres.