Title: @
Author: SAPORITO
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Company: ICEM

Le FTC-Math : un outil de cycle III
pour développer l'esprit de recherche mathématique

Comment l'enfant prend-il possession de la mathématique ?

Nous pensons que deux chemins sont à privilégier : celui de la 
structuration des situations vécues et celui de la création partant 
d'observations, de propositions extérieures ou d'inventions personnelles.
Ces deux chemins ne sont pas opposés, ils sont complémentaires et il 
arrive fréquemment que l'on passe de l'un à l'autre ; ce qui explique 
que dans nos outils on trouve souvent, en plus d'une orientation 
principale, sa complémentaire. 

Le FTC-Math a pour but principal de développer et s'il le faut de faire 
naître l'esprit de recherche. Avec ce fichier il s'agit de favoriser 
l'acquisition d'une méthode de travail, de développer l'esprit mathématique. 

C'est un chemin de créativité, sur des bases d'autant plus solides, 
plus riches, qu'elles seront plus libres, plus personnalisées. (1)

Nous accordons à cette créativité le rôle primordial car nous pensons que ce n'est pas à l'aide de progressions savamment établies et dirigées par l'adulte que l'enfant pourra acquérir le véritable sens mathématique : sens complexe, difficile à définir en quelques lignes puisqu'il suppose à la fois déduction logique, esprit de synthèse, choix parmi les données, méthode d'exploration, utilisation des découvertes précédentes ou annexes... C'est l'enfant lui-même, à partir de ses propres investigations, créations, suppositions dans les domaines les plus divers, qui va se modeler un univers mathématique très personnel sur lequel toute construction ultérieure sera facilitée et appuyée. (1)

Une prise de conscience intérieure

Nous ne nions pas le besoin d'accéder au langage commun, en mathématique comme ailleurs, mais nous basons notre pédagogie sur le principe de la prise de conscience intérieure, personnelle des divers modes d'expression ou d'analyse du monde.
L'enfant qui a peint, qui a écrit ses textes, qui a sculpté (...) est capable d'accéder plus rapidement, plus pleinement, plus consciemment aux oeuvres des peintres, des écrivains, des sculpteurs (...). 
De la même façon, l'enfant qui a créé son propre univers mathématique, est le mieux en mesure d'intégrer les constructions d'autrui, d'accepter les conventions, de les utiliser, car le processus reste le même. (1)
Pénétration plus consciente, plus solide que si le monde des autres ne lui avait été que présenté de l'extérieur, en dehors de sa propre vie, ses propres tentatives.
Tout le monde s'accorde pour reconnaître que dressage n'est pas éducation... Les mathématiques ne font pas exceptions.

Une porte ouverte sur la mathématique

Il est évident que les enfants ne sont pas tous créateurs en mathématique au même niveau (pas plus que dans les autres formes d'expression). Cela tient à leur propre personnalité mais aussi et peut-être surtout à leur "extérieur": présent horizontal (ce qui les entoure : famille, rue, classe) et passé vertical (expériences personnelles depuis la plus tendre enfance et perception quant à celles-ci, des réactions de l'entourage).
C'est pour répondre aux besoins de certains enfants pour qui il suffit d'impulser un premier élan, aux besoins aussi de certains maîtres qui ne "voient" pas les situations riches, que nous avons créé le Fichier de Travail Coopératif - Mathématique.
On peut se demander si une recherche vraiment libre est conciliable avec la notion d'outil. Certes notre but est de donner le goût, le plaisir, la capacité de recherche à l'enfant, à partir de ce qu'il voit, de ce qu'il perçoit, de ce ce qu'il vit ; cependant notre pédagogie n'est pas celle de l'abandon, loin de là, et nous nous devons d'offrir à chaque enfant ce qui lui permettra de se libérer de ses propres chaînes. Ce que nous présentons ici pourrait se résumer par cette idée : la porte ouverte. 
Une porte ouverte sur la mathématique. (1)

"Ce fichier m'a servi à démarrer en mathématiques autre chose que des maths traditionnelles. Je reçois des stagiaires qui n'ont jamais fait le rapprochement entre math et recherche, qui ignorent tout des hypothèses mathématiques (et si on faisait l'inverse, et si on classait comme ceci...). Ce fichier ouvre des horizons insoupçonnés aux débutants."                       
                                                                                             M. Baron

Le FTC-Math : une situation, des pistes...

C'est le premier aspect de ce fichier. En effet, au recto se trouve une situation destinée à éveiller la curiosité de l'enfant. Au verso, des pistes privilégiées. Celles qui ont donné dans les classes les travaux les plus intéressants. Parmi celles-ci, l'enfant qui n'a pas démarré dès le recto, pourra choisir et continuer alors sa recherche.

Il y a lieu d'insister ici sur le fait que ce fichier a été établi d'après les recherches entièrement libres (aucun thème, aucune piste offerts par le maître) réalisées par des enfants. Ces pistes données ne sont pas limitatives, elles représentent seulement les plus couramment rencontrées ou celles qui se sont avérées particulièrement riches. Les offrir, nombreuses, n'est pas les imposer comme plus importantes, c'est vouloir montrer qu'en toute situation il n'y a pas qu'un seul regard de "juste" et que s'il y en a beaucoup, il peut y en avoir encore d'autres, précisément ceux de l'enfant lui-même.

Les situations présentées dans le fichier, aussi variées que possible, proposent un choix suffisant parmi les expériences fondamentales qu'il est souhaitable qu'un enfant d'âge élémentaire ait réalisées ; celles-ci, constituant des bases solides, permettront une construction plus sûre de tout l'édifice mathématique.

De plus, la plupart des fiches peuvent engendrer des recherches se rapportant à des thèmes variés. Il est évident qu'il faut considérer une fiche répertoriée sous un certain titre, non comme un exercice pour étudier la notion en question mais seulement comme une des approches possibles de celle-ci.

En conséquence, il est donc vivement déconseillé d'utiliser ce fichier comme un recueil d'exercices d'application. Par contre, lorsqu'au cours des travaux de recherches des enfants une structure mathématique est entrevue, il peut être intéressant d'offrir, à ceux qui le désirent, des fiches permettant d'aborder cette même structure dans des situations variées. (1)

Le travail de recherche

"Le travail s'effectue comme n'importe quel travail de recherche, je pense. On lit, on réfléchit, on avance, on recule, on tâtonne. J'interviens parfois en regardant où on en est, en essayant de faire préciser, de faire clarifier les idées. Ce n'est pas toujours facile. Dans un premier temps, on ne retourne pas la feuille pour voir les pistes. Ca ne vient qu'après, quand on a déjà cherché et peut-être trouvé. J'essaye quand c'est possible de faire mathématiser la situation."
                                                                                   P. Caporossi (16) 

Un outil de déblocage

Toutefois, l'usage le plus souhaitable de ce fichier reste en tant qu'outil de déblocage ou d'enrichissement personnel par la multiplicité des situations et des pistes.
Dans cette optique, l'enfant puisera seul dans l'ensemble des fiches celles dont les situations éveillent sa curiosité, sans tenir compte le plus souvent des notions mathématiques sous-jacentes.
En effet, surtout au niveau élémentaire, l'intérêt de la recherche est plus, à notre sens, de permettre à l'enfant d'acquérir une méthode de travail, de former son esprit mathématique, que de juxtaposer des connaissances qui ne peuvent être que relatives.
La connaissance, même découverte par l'enfant et a fortiori transmise par l'adulte, ne nous parait intéressante que si elle est véritablement intégrée.
Au niveau de cette intégration et de cette projection, la recherche libre (et elle le reste lorsque l'enfant a choisi une piste de travail dans le fichier, même s'il ne l'a pas inventée lui-même) joue un rôle d'une importance capitale. En effet, elle permet que se créent, au hasard des jours et des travaux, ces innombrables crochets personnels, forgés dans l'affectivité des situations vécues, auxquels pourront se rattacher tout au cours de la vie, les expériences, les découvertes et les informations les plus diverses.

La majorité des fiches peuvent ainsi intéresser des enfants d'âges très différents (depuis le CE2), les pistes en seront seulement diversifiées et plus ou moins poussées selon le niveau. (1)

Comment organiser le travail ?

Importance du cadre matériel

"Les fiches sont rangées par thème dans un classeur appelé Recherche math." 
                                                                                            J-L. Serres (24)

"Dans ma classe (CM1-CM2), les fiches du FTC-Math sont mises sous plastique et rangées dans des classeurs qui eux-mêmes trouvent leur place sur une grande table appelée "table des maths" avec la balance, les masses marquées, le tangram, le stock de calculettes, les classeurs contenant le fichier numération-opérations, certains cahiers de techniques opératoires (la série D) et divers autres instruments."
                                                                                            A. Penot (33)

Dans d'autres classes, les fiches sont rangées verticalement dans une (ou plusieurs) boîte(s).

On n'insistera jamais assez sur l'importance de l'organisation du travail.
Des fiches bien rangées, à la disposition des enfants dans un "coin-mathématiques" proposant tout un matériel varié pour les recherches : voilà une configuration matérielle qui favorisera cette forme de travail. 
Un élève ayant la responsabilité du rangement de cet "atelier-mathématiques" : garantie d'efficacité.

En parcourant le fichier, on ne manque pas de se rendre compte que si la pratique des opérations n'est pas exposée, des recherches très variées mènent à une prise de conscience profonde de ce que sont les systèmes de numération, les lois de composition dans les ensembles de nombres et les moyens opératoires divers. 
Elles aident l'enfant à ne pas voir en l'opération un but (comme c'est trop souvent le cas chez les élèves qui ont appris : "les problèmes d'addition", "les problèmes de soustraction"...etc.) mais uniquement un moyen de répondre numériquement aux questions par ailleurs raisonnées au cours de l'étude de la situation. (1)

Le cadre institutionnel et pédagogique

Selon les occasions et les habitudes de travail de la classe, l'utilisation sera individuelle, par équipes ou collective.

"Le temps de recherches fait partie du temps de travail individuel en référence au plan de travail hebdomadaire et comprend aussi bien des activités de mathématiques, de français, des expériences, ou des recherches documentaires. 
Le travail est généralement individuel, mais il peut aussi être un travail à deux ou par petit groupe (c'est l'intérêt ou la nécessité qui décide)."                           
                								A. Penot

"Les élèves disposent dans la semaine de plusieurs moments de travail libre de maths. Ils profitent donc de ces moments pour -entre autres- utiliser le FTC. Ils travaillent parfois seuls, souvent à deux, rarement à trois ou plus."
         								           P. Caporossi

"Le samedi, de 11 h à 12 h, en remplissant leur plan de travail, les élèves choisissent leurs activités mathématiques.
La classe fonctionne soit en travail individualisé soit par groupe. Si un groupe d'élèves veut aborder une nouvelle notion ou en revoir une autre, ils me sollicitent et nous programmons la (ou les) séance(s) communes."
             								J-L Serres

Une précision importante qui revient très souvent dans les pratiques des collègues : les recherches personnelles sont présentées à la classe.

"L'enfant me montre sa recherche quand il a fini puis il la présente à la réunion de coopérative du samedi."
            								J-L Serres 

"Nous n'avons pas de règle pré-établie et nous décidons de la marche à suivre sur le tas. Nous, c'est-à-dire le groupe -ou l'élève- et moi. Si le groupe le désire, il présentera son travail à la classe.(...)
C'est au cours de ces présentation que nous aurons la possibilité de faire quelques synthèses entre les travaux des différents groupes, et à propos de diverses fiches."
              								P. Caporossi 

Le rôle du maître

Travail individualisé, recherche libre... ne  signifient pas que l'enseignant reste inactif... 
Bien au contraire.

De lui dépend déjà  l'organisation matérielle de la classe. 
C'est lui encore qui met en place le cadre institutionnel et pédagogique.

Mais quel est sa part au cours des recherches ?

Il répond à la demande : dialogue avec l'enfant, l'aidant à observer, à avancer dans sa recherche.
Il aide chaque individu, chaque groupe, en débloquant au besoin une situation.

Pour cela, il encourage et peut attirer l'attention sur un point particulièrement intéressant. Eventuellement, si l'enfant (ou le groupe) se trouve dans une impasse, il relance la réflexion vers d'autres pistes plus prometteuse. 

Il peut encore aider à dégager une synthèse (qui ne sera souvent que provisoire).

Mais il doit aussi savoir se taire... et ce n'est pas toujours le plus facile !
Les interventions intempestives sont une entrave à la recherche. 
L'impatience n'est jamais bonne conseillère. 

Et c'est bien là que réside la grande difficulté de l'enseignant : savoir quand intervenir utilement, en fonction de chaque enfant, de chaque groupe. 

"(...) accorder à l'élève tout le temps, tous les moyens nécessaires pour que lui-même dégage, à partir des connaissances qu'il possède bien et de l'expérience qu'il a réellement vécue, les notions abstraites nouvelles... soyons humbles, sachons ne pas dire non (même s'il le fallait) dans le cas où notre critique risque de paralyser le jeune créateur ; sachons exploiter, faire valoir tout ce qui...promet." 
                                                                          Evariste Dupont
                                                                         Apprentissage mathématique, 
                                                                         Tome 1, Sudel.

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Note :  (1) B. Monthubert, extraits de la notice accompagnant le fichier.

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                     Exemple d'activités à partir de la fiche 105.
                     Classe de CM1-CM2, St Antoine de Breuilh (24)

Il s'agit de trouver la carte tirée par un camarade en lui posant le moins possible de questions.
Le résultat a été présenté à la classe par l'enfant :

  noir
  rouge      coeur        
                 carreau      figure            
                                   non figure        7 ? (non)   
                                                           8 ? (non)    
                                                           9 ? (non)    
                                                         10 ? (oui)  
Le problème étant complexe et intéressant ses camarades, nous avons convenu d'y retravailler la semaine suivante en séances collectives. J'ai repris les arbres en proposant d'autre situations.

* Avec les chiffres 1, 2, 3, 4 écris toutes les combinaisons possibles.
                   3       4       -->  1 2 3 4
           2
                   4       3       -->  1 2 4 3
          
                   2       4       -->  1 3 2 4
 1        3
                   4       2       -->  1 3 4 2
                            
                   2       3       -->  1 4 2 3 
           4
                   3       2       -->  1 4 3 2

 etc.        4 X 3 X 2 X 1 = 24

* Avec les fiches C 38 (fichier problèmes niveau C, PEMF) et C 56  (mer, lac, piscine, rivière).
A cette occasion, il me semble important de montrer qu'avec un outil on en utilise d'autres : fichier problèmes, dans ce cas.
N'étant pas habitués à réfléchir de cette manière, les enfants ont eu du mal pour y arriver.

* Nous avons donc repris :
                        
pantalon     chemise     
                                          béret            --> pantalon-chemise-béret
short           polo
                                          casquette     --> etc.  
jupe            pull

* Quand tout le monde y est arrivé, les enfants ont écrit des "textes" utilisant les combinatoires.

1er exemple (Benoît et Grégory) : 
"Pour manger, je peux choisir entre carottes, betteraves, salades. 
Je prends ensuite soit poulet, soit rôti, après, frites, nouilles ou haricots...
et, à la fin : yaourt, banane ou fromage.
Nombre de combinaisons ?
1 X 3 X 3 X 3 = 27
     27 x 3   = 81"    

2ème exemple (Elodie et Fanny) :
"Christian va soigner ses trois chiens. Il a le choix entre un fox, un caniche, un berger allemand. 
Il peut leur donner à manger : des croquettes, du pâté, de la viande 
et il peut leur donner à boire du lait, ou de l'eau.
Ecris toutes les combinaisons possibles."

Le travail se faisait par groupes de 2 ou 3, les textes étaient très variés.
Cette recherche, au départ individuelle, puis collective et en groupes nous a occupés toute la semaine, à raison d'une séance par jour.
(Envoyée par courrier ou par fax aux correspondants, elle peut faire boule de neige !)
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INDEX ALPHABETIQUE DES FICHES
La plupart des fiches peuvent engendrer des recherches se rapportant à des thèmes mathématiques variés. L'index ci-dessous facilitera les repérages.

A
addition                 128 140 
affine (géométrie)  183
aire                        103 120 121             
                              161 172 179  
                              184 187 
alphabet Braille     152
arbre                     117 122 156 
                              178 192 
                              197 à 200
arrangements        110 151 153  
                              156 157
axe de symétrie     167
B
balance                 137
Braille (alphabet)   152
C
calendrier             191
carré                     121 161 185 
                             190
carré magique      144
cartes à jouer       101 à 108
cartes perforées   193
centre de symétrie 167
chemin                 100 131 175 
                             178 197 à 200
cible                      170
classes                 128
code                     143
combinatoire        100 110 114 
                             117 149 à 158 
                             197 à 199   
complémentaire    106 195
composition 
   de mouvements   181
composit.             131 132 134
   d'opérateurs      162 à 164 
composition 
   (loi de)                133 159 174
cône                      161
congruence           128 à 132  
                              135 191
coordonnées         171
couples                 151
courbe                   181
cube                      113 186
D
damier                   185 197
dé                          109 à 115
décomposition       103 111 137
    de nombres       144 158 179 
                              180
dévelop. un volume 113
diagonales             161 
dichotomie             192
distributivité            118
diviseurs 
     d'un nombre      104 119 180
division                  104 145 148
dominos                 116 à 123
E
encadrement          148
ensembles              102 105 106  
                               191 à 193
ensembles
  complémentaires  195
ensemble des parties 149 192
équilibre                 137
équivalence          114
étoile                     175
G
géométrie             159 à 190
géométrie affine    183
géométrie project. 183
graphiques            171
groupe de Klein     159
groupes                 133 160 174
H
hasard                    107 115 123 
homothétie             183
I
impair                     160
intersections
  d'ensembles         105 192
isométrie                 176
J
jeux avec des nombres 147
jeux de domino        116 123
K
Klein (groupe)          159
L
logique                     194 à 196
lois de composit.      133 159 174
losange                    161
loterie                       110
M
machine à transf.     176 177
mesure                     165
modulo                   128 à 132 191
mouvement              181
multiples                   129 à 131 
                                 135 147
multiplication         118 124 126 
                              127 135 136 
                              141
N
nombres négatifs  137
nombres pairs      124 132 160 
                             175
nombres relatifs    137
numération           124 à 148 
                             163
O
ombres                 183
opérateurs            131 132 134
opérations externes 162 à 164
opérations inventées 146
P
paires                   151
pairs (nombres)    124 132 160 
                             175
partage d'un carré
rectangle, segment 104 112 148 
                             182
parties (ensemble) 149 192
partition                102 149 192
périmètres            168 172 184 
                             187 
permutation          150 157
pesée                   194
plans                    100
probabilités          123
progression          121 122 166 
                             172 173 
                             185 à 187
Pythagore (table)  117 135 143
Q
quadrillage           160
R
rectangle              103 120 184 
                             185
relation                 151
repérage               170 171
retournement        159
ronde                    175
rotation                 155 174 176
S
somme algébrique   137
somme des n 
  premiers nombres  112
soustraction 
  d'ensemble         105
statistique             107 115 123
structure de 
  groupe                133 160 162
suite décimale      145
suite numérique    122 125 127 
                             172 173 187
symbole                140
symétrie                114 144 145 
                              159 163 164 
                              166 167
système de mesure  165
système de numération (création)             
                              138 139 142
T
table de Pythagore 117 135 143
table de vérité       196
topologie              100 168 177 
                             178 186
                             198 à 200
transformation
   géométrique      176
transformation 
   topologique        177
treillis                    198
triangle                 189
triangle rectangle  169
V
volume                 113 

Dossier préparé par 
JC Saporito. 
Documents : M. Baron, 
P. Caporossi, B. Monthubert, 
A. Penot, J-L Serres.